Леонид Антонович Малюгин родился 4 марта 1909 года в г. Петербурге в семье кондитера. С трехлетнего возраста проживал у бабушки в деревне Поповка Касимовского уезда Рязанской губернии. Учился в сельской школе. В 1919 г. переехал к отцу в г. Петроград, где окончил среднюю школу в 1925 году. В школьные годы у Леонида Малюгина проявляются способности к литературе. Со своим другом, будущим поэтом В. Ивановым, они организовали театральную группу «Синяя блуза», для которой сами писали тексты.
Леонид Антонович учился в Ленинградском техникуме печати. После прохождения срочной службы в рядах Красной Армии окончил Ленинградский институт театра и музыки. Л. Малюгин становится постоянным сотрудником ленинградских газет и журналов, часто выезжает в различные города Советского Союза.
В 1938 году Л.А. Малюгин возглавил литературную часть Ленинградского Большого драматического театра имени М. Горького. Осенью 1943 г. он там же организовал молодежную драматическую студию, для которой написал пьесу «Старые друзья». В 1946 году Л.А. Малюгину была присуждена Государственная премия СССР за пьесу «Старые друзья», которая шла во многих театрах страны и за рубежом.
Вскоре Леонид Антонович переехал в г. Москву, где возглавил секцию драматургии в Союзе писателей СССР. В 1950-1960-х гг. в печати стали публиковаться его лирические комедии о молодежи: «Родные места», «Новые игрушки», «Путешествие в ближние страны», «Девочки-мальчики», «Семь километров в сторону». Пьесы получили высокую оценку критики и с успехом ставились на сцене. Особый успех имела пьеса «Девочки-мальчики» – ее ставили в Литве и в городах: Ленинграде, Горьком, Вологде.
Л.А. Малюгин написал произведения о жизни и деятельности Н.Г. Чернышевского (пьеса «Молодая Россия») и о судьбе выдающегося французского летчика и писателя А. де Сент-Экзюпери (пьеса «Жизнь Сент-Экзюпери»). По сценариям Л.А. Малюгина поставлены фильмы «Поезд идет на Восток», «Доброе утро», «К Черному морю» и другие. Особое место в творчестве Малюгина занимала судьба А.П. Чехова. Глубокий интерес к жизни и творчеству Чехова нашел отражение в пьесе «Насмешливое мое счастье», документальной повести-хронике «Чехов» (в соавторстве с И.Е. Гитович).
Л.А. Малюгин занимался и преподавательской деятельностью. С 1945 г. работал в Ленинградском театральном институте им. Островского, с 1947 г. – в ГИТИСе.
Леонид Антонович много помогал молодым драматургам, являлся одним из организаторов ежегодных всесоюзных творческих семинаров. Будучи человеком широкого кругозора и энциклопедических знаний, пытливый и любознательный, он всегда привлекал внимание талантливых людей. Дружил с писателями: А.М. Борщаговским, Е.Л. Шварцем, К.Г. Паустовским, В.А. Кавериным, драматургом В.С. Розовым.
На протяжении всей жизни Л.А. Малюгин был большим любителем путешествий. Со второй половины 1950-х годов он часто ездил за границу, побывал в 24-х странах мира и объездил почти всю Россию. Но Леонид Антонович никогда не забывал полюбившиеся ему с детства касимовские места. Он неоднократно приезжал в г. Касимов, в деревню Поповка, дружил и переписывался с местным краеведом Л.А. Кленовым. Касимовские впечатления нашли свое отражение в очерке «Касимов» и пьесе «Родные места».
За последние годы жизни Л.А. Малюгин сделал очень многое: написал две пьесы, явившиеся событиями театральной жизни, переделал пьесу «Насмешливое мое счастье» для кино – «Сюжет для небольшого рассказа». Он автор многочисленных статей о театре и сборника «Театр начинается с литературы». Л.А. Малюгин закончил первую половину повести-хроники о А.П. Чехове, которая была напечатана в журнале «Дон» (№ 1-3) в 1969 г., вторая часть книги была доработана И.Е. Гитович и опубликована в 1977 г. (№ 1-4). Книга Л.А. Малюгина и И.Е. Гитович «Чехов» вышла отдельным изданием в 1983 г. в издательстве «Советский писатель» (г. Москва).
Л.А. Малюгин умер 20 января 1968 г. в г. Москве. Он завещал Касимову часть своей личной библиотеки (2 тысячи книг).
Постановлением Совета Министров РСФСР № 59 от 26 января 1976 г. Касимовской городской библиотеке № 1 было присвоено имя драматурга, критика Л.А. Малюгина.
При участии сестры драматурга, Тамары Антоновны Малюгиной, в 1984 г. при средней школе № 2 г. Касимова был создан музей Леонида Антоновича Малюгина. Сейчас он находится при центральной библиотеке его имени.